Определение оптимального замкнутого маршрута

1,если коммивояжер из пункта i переезжает в пункт j,

0, если не поедет,

где i,j - 1, 2, ., n. Требуется минимизировать выражение:

(2.1)

при следующих ограничениях:

,

где Ui и Uj – произвольные вещественные значения.

Первое ограничение означает, что коммивояжер из каждого пункта выезжает только один раз; второе ограничение означает, что коммивояжер въезжает в любой пункт только один раз; третье ограничение обеспечивает замкнутость маршрута, содержащего п пунктов, и отсутствие петель.

Для решения задач дискретного программирования широко применяются комбинаторные методы, основная идея которых заключается в замене полного перебора всех решений их частичным перебором. Одним из таких методов является .метод ветвей и границ, в основе которого лежат следующие построения, позволяющие существенно уменьшить объем перебора решений:

• вычисление нижней границы (оценки);

• разбиение на подмножества, т. е. ветвление;

• пересчет оценок;

• нахождение решений;

• определение признака оптимальности;

• оценка точности приближенного решения.

Для реализации метода ветвей и границ применительно к задаче о коммивояжере необходимо конкретизировать правила ветвления, вычисления оценок и нахождения решений.

Описание алгоритма метода ветвей и границ. Сущность метода ветвей и границ применительно к задаче коммивояжера состоит в следующем.

1. Обозначим через G0 множество всех циклов, среди которых отыскивается кратчайший цикл t*: l(t*)=min l(t). При этом под циклом будем понимать набор из n упорядоченных пар городов, образующих замкнутый маршрут, который проходит через каждый город только один раз:

t=[(i1,i2),(i2,i3),…,(in-1,in),(in,i1)].

Длина цикла равна (2.2)

2. Вычислим оценку для множества G0.Для этого введем понятие приведенной матрицы и процесса приведения.

Пусть hi=minj Сij,

тогда Cij'=Сij-hi³0 и l(t)=.

Пусть Hj=mini Cij',

тогда Cij''=Cij'-Hj³0 и l(t)=.

Полученная матрица С" называется приведенной. Она обладает тем свойством, что в каждой ее строке и столбце имеется по крайней мере один нуль. Процесс, позволяющий из неотрицательной матрицы С получить приведенную неотрицательную матрицу С", называется приведением. Сумма вычитаемых в процессе приведения элементов называется приводящими константами и обозначается hΣ. Оптимальный план задачи о коммивояжере с матрицей С" является оптимальным и для задачи о коммивояжере с матрицей С. Длина цикла l(t) на приведенной матрице будет меньше длины цикла l(t) на исходной матрице на сумму приводящих констант: l(t)=l(t)+hΣ.

Популярные материалы:

Схема отмены маршрута
Схему отмены маршрутов строят по плану станции (цепи 13 и 14) межблочных соединений. В схеме использованы высокоомные реле разделки 1Р и 2Р в блоках СПД и реле отмены 0Т1 в сигнальных блоках. Но для отмены поездного маршрута отправления ...

Организация технического обслуживания, текущего ремонта и хранения техники
В период эксплуатации происходит приработка деталей в агрегатах автомобиля, поэтому при проведении технического обслуживания профилактические, крепежные, смазочно-очистительные и регулировочные работы должны своевременно выполняться, что ...

Характеристика порта Санкт-Петербург
Описание Порта Географические координаты порта: 59° 54′ с.ш.; 30° 15′ в.д. Порт Санкт-Петербург - крупнейший транспортный узел на северо-западе России. Он расположен на островах дельты реки Нева, в Невской губе в восточной ч ...